ПРИМЕРЫ

Аналитически отделить корни уравнений:

1. 1. Рассмотрим уравнение 

x³-4x+2=0.

Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней. Подсчитаем несколько значений функции

f(x)=x³-4x+2,

выбирая для простоты целые значения x:

f(-3)=13; f(-2)=2; f(-1)=5; f(0)=2; f(1)=-1; f(2)=2

 

Функция f(x)  непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на концах отрезков [-3;2]; [0;1] и [1;2]; следовательно, по теореме о корне непрерывной функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню. Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке - ровно по одному корню. Тем самым нам удалось отделить все три корня x*,x**  и x*** уравнения (и при этом установить, что их действительно три, а не меньше):

x*€[-3;-2]; x**€[0;1]; x***€[1;2]

 

(здесь значения х подбираются либо подбором либо с графическим способом.)

 

1. 2. Рассмотрим уравнение 

 

x³+2x²+3x+5=0

Для функции f(x)=x³+2x²+3x+5 найдём производную

f’(x)=3x²+4x+3

У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: 

D=4²-4∙3∙3=-20,

Поэтому f’(x)  сохраняет знак коэффициента при x², то есть f’(x)>0 при всех действительных х. Следовательно, функция f(x) возрастает на всей оси Ox и может иметь не более одного корня.

Вычислим значения f(x)  в точках -2 и -1: f(-2)=-1; f(-1)=3. Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке [-2;-1] .     

 

1. 3. Найти границы корней уравнения

Рассмотрим уравнение x⁵-60x3+65x-5=0.

Применим формулу (1):

Выпишем коэффициенты уравнения: a₀=1, a₁=0, a₂=-60, a₃=-0, a₄=64, a₅=-5. В данном случае m=2 (номер первого отрицательного коэффициента равен  2), M=max{|-60|, |-5|}=60. По формуле (1), следует, что

 

Значит, все действительные корни уравнения находятся в интервале (-8,75;8,75).

         Чтобы указать границы отрицательных и положительных корней, необходимо рассмотреть многочлены 

Так как f(x)=x⁵-60x3+65x-5,то 

Поскольку мы рассматриваем полиномы, для которых a₀>0, то нужно взять 

По формулам (1) находим верхние границы положительных корней для полиномов φ₁(x); φ₂(x); φ₃(x):

В соответствии с неравенствами  -K<x< -1/K₃ . и  1/K₁<x<K₀ , заключаем,  что все отрицательные корни лежат в интервале  (1/14; 8,75).

4.  Сколько действительных корней имеет уравнение

Рассмотрим уравнение x⁵-x-0,2=0.

Применим теорему Штурма. Составим сначала систему функций 

Делим f(x) на f₁(x) и находим остаток  r₁=-1/5∙(4x+1)

В качестве f₂(x) берем остаток r₁(x) c противоположным знаком. Пренебрегая постоянным положительным множителем 1/5 , получаем  f₂(x) =4х+1.

Делим 5х⁴-1 на 4х+1, получаем остаток  r₂=-251/256

Возьмем остаток с противоположным знаком. Пренебрегая постоянным положительным числом -251/256, получаем f₃(x) =1.

Таким образом, получена система Штурма: 

Составим таблицу для подсчета числа перемен знаков: 

Так как ω(-∞)-ω(+∞)=3-0=3,то уравнение имеет три действительных корня. Поскольку ω(-∞)-ω(0)=3-1=2,  среди его корней – два отрицательных, третий корень – положительный.

1. 5. Отделить корни уравнения

         Рассмотрим уравнение x⁵-60x³+65x-5=0.

Выпишем коэффициенты уравнения и их знаки: 1, -60, 60, -5. В системе коэффициентов имеется три перемены знаков (первая: +-,  вторая: -+ , третья: +-). Из теоремы Декарта следует, что число положительных корней уравнения, с учетом их кратностей, равно 3 или 1 (3-число перемен знаков, 1=3-2).

         Все действительные корни уравнения , как было показано в примере 5, лежат в интервале (-8,75;8,75). С помощью схемы Горнера вычислим значения функции при фиксированных значениях х из указанного интервала.

Из таблицы видно, что уравнение имеет пять действительных корней, лежащих в интервалах

(-8,-7), (-2,-1), (0,1), (1,2), (7,8).

27.12.2011