НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

В зависимости от вида функции   нелинейные уравнения подразделяются на два класса – алгебраические и трансцендентные.

Уравнение  называется алгебраическим, если функция   является алгебраической функцией.

Алгебраическим уравнением (функцией) называется уравнение вида Pn=0, где Pn - многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим многочленом  степени n называется сумма целых неотрицательных степеней переменной x, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида: a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0

 

Для сокращенной записи многочленов употребляют обозначения f(x), φ(x), g(x) и тп.

Два многочлена f(x) и g(x) считают равными и пишут f(x) = g(x) в том и только в том случае, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Теорема: Для любых двух многочленов  f(x) и  g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x), что f(x) = φ(x)q(x) + r(x), причем степень r(x) меньше степени φ(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), определяются однозначно.

Многочлен q(x) называется частным от деления  f(x) на φ(x), а r(x) называется остатком от этого деления.

Замечание: Формулу f(x) = φ(x)q(x) + r(x), можно записать так:

Если остаток от деления f(x) на φ(x) равен нулю, то многочлен φ(x) называется делителем многочлена f(x);  в этом случае говорят, что f(x) делится на φ(x) (или нацело делится на φ(x)).

Многочлен φ(x) тогда и только тогда является делителем многочлена f(x), когда существует многочлен ψ(x), удовлетворяющий  равенству f(x)=φ(x)ψ(x)

 Многочлен h(x) называется общим делителем для многочленов f(x) и g(x), если он является делителем каждого из этих многочленов.

Два многочлена  называются взаимно простыми, если они не имеют других общих делителей, кроме многочленов нулевой степени (т. е. постоянных).

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) называется общий делитель d(x), который делится на любой другой общий делитель этих многочленов Наибольший общий делитель многочленов f(x)  и g(x)  обозначается так: (f(x), g(x)).

Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) можно найти с помощью алгоритма Евклида. 

то  r_k(x) = (f(x),g(x)).

Замечание: Наибольший общий делитель многочленов определен с точностью до постоянного множителя: если d(x) – наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), то cd(x), где с – любое число, отличное от нуля, также  является наибольшим общим делителем.

Значением многочлена f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n при x=c называется число f(c)=a₀cⁿ+a₁c^n-1+…+a_n-1c+a_n.

Число c  называется корнем многочлена f(x) или корнем уравнения  f(x)=0, если  f(c)=0, т. е. a₀cⁿ+a₁c^n-1+…+a_n-1c+a=0

Если с - корень многочлена f(x), т.е. f(c)=0, то многочлен f(x) делится на x-c.

Теорема (основная теорема Алгебры): Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).

Следствие 1: Всякий многочлен n-й степени единственным образом , с точностью до порядка сомножителей, разлагается  в произведение n линейных множителей: если α₁,α₂,…,α_n - корни многочлена f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n , то f(x)=a₀(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n).

Следствие 2: Всякий многочлен f(x) степени n ≥ 1 имеет n корней, считая равные и комплексные.

Следствие 3: Если многочлены f(x) и φ(x), степени которых не превышают n, имеют равные значения более чем при n различных значениях переменной, то f(x) = φ(x).

         Если многочлен f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n

для которого a₀=1, имеет корни, то его коэффициенты α₁,α₂,…,α_n выражаются формулами Виета:

Решение уравнений высших степеней.

Схема Горнера.

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения

a_o xⁿ + a₁ x^n-1 + … + a_n-1x¹ + a_n = 0

 

c целыми коэффициентами. Тогда число р является делителем старшего коэффициента а_о.

Следствие: Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие: Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют – целые.

 

Пример 1.                     2х³ – 7х² + 5х – 1 = 0

 

 Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения, тогда           р является делителем числа 1 : ± 1

q является делителем старшего члена: ± 1; ± 2

Рациональные корни уравнения надо искать среди чисел: ± 1; ± .

f(1) = 2 – 7 + 5 – 1 = – 1 ≠ 0

f(–1) = –2 – 7 – 5 – 1 ≠ 0

f( ) =  –  +  – 1 =  –  +  –  = 0

Корнем является число 1/2 .

Деление многочлена Р(х) = а_ох^п + a₁ x^n-1 + … + a_n  на двучлен (х – c) удобно выполнять  по схеме Горнера.

Обозначим неполное частное Р(х) на (х – c) через Q(x) = b_ox^n-1 + b₁x^n-2 + …b_n-1,

а остаток через b_n

Р(х) = Q(x) (x – c) + b_n , то имеет место тождество

 

а_ох^п + a₁ x^n-1 + … + a_n = (b_ox^n-1 + … + b_n-1) (х – c) + b_n

 

Q(x) – многочлен, степень которого на 1 ниже степени исходного многочлена. Коэффициенты многочлена Q(x) определяются по схеме Горнера.

	ао	a1	a2	…	an-1	an
c	bo = aо	b1 = a1 +c·bo	b2 = a2 + c·b1		bn-1 = an-1 +cbn-2	bn = an + c·bn-1

 

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена  Р(х).

Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0.

         Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого (а_о = b_o). Если £ является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0.

 

Пример 2. Разложить на множители с целыми коэффициентами

Р(х) = 2х⁴ – 7х³ – 3х² + 5х – 1

Ищем целые корни среди делителей свободного члена: ± 1.

Подходит – 1.

Делим Р(х) на (х + 1)

 

	2	– 7	– 3	5	– 1
– 2	2	– 9	6	– 1	0

 

2х⁴ – 7х³ – 3х² + 5х – 1 = (х + 1) (2х³ – 9х² + 6х – 1)

 

Ищем целые корни среди свободного члена: ± 1

Так как старший член равен 1, то корнями могут быть дробные числа:

–1/2;1/2.

Подходит 1/2.

 

	2	– 9	6	– 1
1/2	2	– 8	2	0

 

2х³ – 9х² + 6х – 1 =(х –1/2) (2х² – 8х + 2) = (2х – 1) (х² – 4х + 1)

Трехчлен  х² – 4х + 1  на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.

Любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней, считая и комплексные корни. Если a+ib – корень уравнения f(x), то a-ib – также корень данного уравнения, т. е. уравнение, может иметь только четное число комплексных корней. Алгебраическое уравнение f(x) при нечетном n имеет, по меньшей мере, один действительный корень.

На практике найти корни уравнения точно удается лишь в частных случаях. Кроме того, часто уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому  разработаны методы численного решения уравнений f(x)= 0, которые позволяют отыскать приближенные  значения корней этого уравнения. 

Классификация Алгебраических уравнений

1. ax + b = 0.   Линейное уравнение.
2. ax² + bx + c = 0.   Квадратное уравнение.
3. ax³ + bx² + cx + d = 0.   Кубическое уравнение.
4. ax⁴ + bx² + c = 0.   Биквадратное уравнение.
5. ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0.   Возвратное (алгебраическое) уравнение.
6. ax⁴ + bx³ + cx² − bx + a = 0.   Модифицированное возвратное уравнение.
7. ab²x⁴ + bx³ + cx² + dx + ad² = 0.   Обобщенное возвратное уравнение.
8. ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0.   Уравнение четвертой степени общего вида.
9. xⁿ − a = 0.   Двучленное алгебраическое уравнение n-й степени.
10. ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0. Возвратное (алгебраическое) уравнение
11. a₀x²ⁿ + a₁x²ⁿ⁻¹ + a₂x²ⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = 0.   Возвратное (алгебраическое) уравнение n-й степени.
12. a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0. Алгебраическое уравнение n-й степени общего вида.

27.12.2011