ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД.

Отделить корень уравнения – это значит найти такой интервал, внутри которого имеется корень данного уравнения, причем этот корень является единственным на данном интервале.

При отделении (иначе локализации) корней необходимо:

1)    выявить наличие и количество корней уравнения f(x).

2)    найти области их расположения;

3)    получить отрезки [a_i,b_i]на которых имеется точно по одному корню.

Для функций общего вида нет универсального способа решения этих задач. Обычно для их решения используется ряд теорем математического анализа и некоторые специальные графические приёмы.

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах:

Теорема1:Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и меняет на концах отрезка знак, т. е. f(a)∙f(b)<0 , то на отрезке [a,b]  содержится, по крайней мере, один корень уравнения.

Теорема 2: Если непрерывная на отрезке [a,b]  функция y=f(x)  принимает на концах отрезка  значения разных знаков f(a)∙f(b)<0 , а производная f’(x)  сохраняет знак внутри отрезка [a,b] , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f (x) = 0

Теорема 3: Если функция y=f(x)  является многочленом  степени n  и на концах отрезка [a,b] меняет знак, т. е. f(a)∙f(b)<0  , то на отрезке [a,b]  имеется нечётное количество корней (если производная f’(x)  функции  сохраняет знак на отрезке [a,b]  , то корень единственный). Если на концах отрезка [a,b]  функция не меняет знак, т. е. f(a)∙f(b)<0   , то уравнение либо не имеет корней на отрезке [a,b]  , либо имеет чётное количество корней.

 

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции y=f(x). Для этого нужно определить критические точки ξ₁,  ξ₂, …, ξ_n, т. е. точки, в которых первая производная f’(ξ)  равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности (ξ_i ,ξ_i+1)  функции y=f(x). На каждом из них следует определить знак производной f’(x_i), где x_i€(ξ_i ,ξ_i+1), а затем выделить те интервалы монотонности, на которых функция  меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

 

Так же для алгебраических уравнений есть несколько аналитических способов отделения корней: правило знаков Декарта, метод Штурма, теорема Бюдана-Фурье, и т.д. В основном эти методы позволяют определить количество корней в каком-то промежутке.  Далее рассмотрим некоторые из них.

 

теорема Декарта. Для определения количества действительных корней уравнения y=f(x) необходимо воспользоваться теоремой Декарта: число положительных корней уравнения y=f(x)  с учетом их кратности равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов a₁, a₂, … ,a_n (при этом равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на четное число.
         Теорема Декарта не требует больших вычислений, но не всегда дает точное количество действительных корней уравнения y=f(x).
Замечание. Для определения количества отрицательных корней достаточно применить теорему Декарта к многочлену f(-x).

Т.е. правило знаков Декарта  звучит так:

Число действительных, положительных корней алгебраического уравнения

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n

в точности равно числу переменных знаков у коэффициентов или на четное число меньше.

Число отрицательных действительных корней уравнения f(x)=0 в точности равно числу перемен знаков у коэффициентов уравнения f(-x)=0   или на четное число меньше.

 

теорема Штурма. Если уравнение y=f(x) не имеет кратных корней на [a,b], то точное число действительных корней дает теорема Штурма.
         Предположим, что уравнение y=f(x) не имеет кратных корней. Обозначим через f₁(x) производную f’(x); через f₂(x)  остаток от деления f(x) на f₁(x)  , взятый с обратным знаком; через f₃(x)    остаток от деления f₁(x) на  f₂(x)  , взятый с обратным знаком и т.д., до тех пор, пока не придем к постоянной.

 Полученную последовательность f(x) , f₁(x),  f₂(x), …, f_n(x) назовем рядом Штурма.
          Теорема Штурма: Число действительных корней уравнения f(x)=0, расположенных на отрезке [a,b], равно разности между числом перемен знаков в последовательности f(x) , f₁(x),  f₂(x), …, f_n(x)  при х=a и числом перемен знаков в последовательности f(x) , f₁(x),  f₂(x), …, f_n(x)  при х=b.
          При построении таблицы знаков функции следует найти f’(x) и прировнять к 0, и найти значение переменной . Затем построить таблицу знаков функции, подставляя значения близкие корням уравнения f’(x)=0.

Замечание. Способ Штурма является наиболее совершенным способом отделения корней. Но использование теоремы Штурма на практике, связано с большой вычислительной работой при построении рядя Штурма.

 

Отметим, что при применении этих теорем необходимо определить границы корней. Это можно сделать следующим способом:

 Все действительные корни уравнения f(x)=0 , если они существуют, заключены в интервале (-K₀,K₀), причем число K₀ определяется формулой:

где А – наибольшее из чисел |a₁|, |a₂|,…,|a_n|. Зная лишь верхнюю границу положительных корней любого многочлена, можно указать интервалы, в  которых находятся его положительные и отрицательные корни. Вместе с многочленом f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n

 

для которого число K₀ служит верхней границей его положительных корней, рассматривают многочлены: 

где f(x) определяется формулой  f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n

Пусть верхними границами положительных корней этих многочленов будут соответственно числа K₁, K₂, K₃. Тогда все положительные корни многочлена f(x) удовлетворяют неравенствам:

а все отрицательные – неравенствам

Для положительных корней уравнения  более точная верхняя граница может быть получена по формуле  Маклорена

где М – максимум модуля отрицательных коэффициентов уравнения, m – номер первого из отрицательных коэффициентов. Лучший результат по сравнению с приведенными двумя результатами дает метод Ньютона, согласно которому число  c>0 будет верхней границей положительных корней уравнения f(x)=0, если f(c)>0, f’(c)>0,…,f^(n-1)(c)>0

 

В связи  с вышеизложенным сделаем несколько замечаний:

 

Замечание 1. Если в уравнении f(x) отсутствуют отрицательные коэффициенты, то уравнение f(x)=0 не имеет положительных корней.

Если указываются границы, между которыми должны содержаться действительные корни многочлена, то этим вовсе не утверждается, что такие корни на самом деле существуют.

Замечание 2. Формула 

может быть получена в результате следующих рассуждений. Пологая x>1и заменяя каждый из коэффициентов a₁, a₂, …,a_m-1 числом ноль, а каждый из коэффициентов  a_m, a_m+1, …,a_n– числом М, мы можем лишь уменьшить значение многочлена, т.е. 

Если 

то, так как  a₀x^m-1(x-1)-M ≥ a₀(x-1)^m-M, выражение в квадратных скобках в формуле

окажется положительным, т.е. значение f(x) будет строго положительным. Значения х, удовлетворяющие неравенству

не могут служить корнями для f(x).

         Замечание 3. Соотношения f(c)>0, f’(c)>0,…,f^(n-1)(c)>0  получаются из формулы Тейлора:

Если,  x ≥ c > 0, то справа будет стоять строго положительное число, т.е. такие значения х не могут служить корнями для f(x).

 

         Замечание 4. Формулы

b_o = a_о

b_n = a_n + x₀·b_n-1 (n=1,2,…,k-1)

r= x₀·b_n-1 +a_n=f(x₀).

 получены из соотношения f(x)=(x-c)q(x)+r  сравнением коэффициентов при одинаковых степенях х. Из последней формулы видно, что f(x₀)=r, т.е. значение многочлена  f(x) при x=c равно значению остатка от деления этого многочлена на x-c.

 

  Замечание 5. Если в некотором интервале оказывается несколько корней, для их отделения можно применять табличный способ, требующий вычисления значений многочлена f(x) при  различных значениях x. Эта задача решается наиболее просто с помощью, так называемой схемы Горнера. К.ок уже отмечалось выше, эта схема основана на том. При делении полинома

f(x)=a_o xⁿ + a₁ x^n-1 + … + a_n-1x¹ + a_n

 

на x-x₀ коэффициенты частного

q(x) = b_ox^n-1 + b₁x^n-2 + …b_n-1,

и остаток r определяются формулами:

b_o = a_о

b_n = a_n + x₀·b_n-1 (n=1,2,…,k-1)

r= x₀·b_n-1 +a_n=f(x₀).

Напомним, что вычисления при этом располагаются в виде схемы Горнера: 

     

 

 

27.12.2011